Persamaan Garis Singgung Lingkaran: Pengertian dan Contohnya

   Persamaan garis singgung lingkaran ialah persamaan garis yang menyinggung lingkaran pada suatu titik. Suatu garis dapat disebut sebagai garis singgung lingkaran jika garis tersebut memotong lingkaran atau kurva tepat di satu titik (titik persekutuan).

   Berdasarkan pengertian di atas, maka dapat diketahui bahwa garis singgung lingkaran ialah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Garis singgung lingkaran memiliki beberapa kondisi berbeda, yaitu: garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran, garis singgung dengan gradien, dan garis singgung pada titik di luar lingkaran.

   Nah, agar teman-teman lebih mengenal dan memahami jenis-jenis garis singgung lingkaran. Yuk, kita kupas tuntas materi ini dengan contoh-contoh soal dan pembahasannya!

1. Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Pada bagian ini,kita akan menentukan suatu persamaan garis singgung yang melalui titik $Q (x_{1}, y_{1})$ pada lingkaran yang berpusat di $P (a, b) menggunakan rumus berikut:$

Contoh soal

Tentukan persamaan garis singgung di titik

(5,3)

pada lingkaran

x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0

Pembahasan:

\begin{array}{l} x_{1} = 5 \\ y_{1} = 3 \\ A = - 4 \\ B = 2 \end{array}

Kemudian dengan bentuk persamaan lingkaran tersebut, maka informasi yang telah diperoleh akan disubtitusikan pada rumus berikut:

$\begin{array}{l} x x_{1} + y y_{1} + \frac{A}{2} (x + x_{1}) + \frac{B}{2} (y + y_{1}) + C = 0 \\ 5 x + 3 y - \frac{4}{2} (x + 5) + \frac{2}{2} (y + 3) - 20 = 0 \\ 5 x + 3 y - 2 (x + 5) + (y + 3) - 20 = 0 \\ 5 x + 3 y - 2 x - 10 + y + 3 - 20 = 0 \\ 3 x + 4 y - 27 = 0 \end{array}$

Berdasarkan pembahasan di atas, maka persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut ialah

3 x + 4 y = 24

Lebih jelasnya, teman-teman dapat melihat ilustrasi di bawah ini,

2. Garis Singgung Lingkaran dari Gradien

Pada bagian ini, kita akan menentukan suatu persamaan garis singgung lingkaran dengan menggunakan kemiringan garis, baik dari kemiringan garis singgung atau kemiringan dari garis lain yang memiliki hubungan sejajar atau tegak lurus dengan garis singgung tersebut. Adapun rumus mencari persamaan garis singgung lingkaran dalam kasus ini ialah sebagai berikut:

Contoh soal

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

yang tegak lurus dengan

2 y + x = 2

Pembahasan:

Dengan menggunakan konsep persamaan garis lurus, maka kita akan menentukan gradien dari garis singgung dengan melihat hubungannya dengan garis yang lain.

Berikut ini akan ditentukan gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis

2 y + x = 2

2 y + x = 2 \to m_{a} = - 1

Sehingga,

\begin{array}{l} m . m_{a} = - 1 \\ m . \frac{- 1}{2} = - 1 \\ m = 2 \end{array}

\begin{array}{l} Subtitusikan m = 2 dan titik pusat P (2, - 3) ke dalam rumus mencari persamaan garis singgung lingkaran, \end{array}

\begin{array}{l} \begin{array}{l} (y - b) = m (x - a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\ (y + 3) = 2 (x - 2) \pm 5 \sqrt{1 + 2^{2}} \\ (y + 3) = 2 (x - 2) \pm 5 \sqrt{5} \\ (y + 3) = 2 x - 4 \pm 5 \sqrt{5} \\ y = 2 x - 7 \pm 5 \sqrt{5} \end{array} \end{array}

Dari pembahasan di atas maka persamaan garis singgung lingkaran ialah

y = 2 x - 7 + 5 \sqrt{5}

atau

y = 2 x - 7 - 5 \sqrt{5}

Perhatikan gambar di bawah ini,

Pada ilustrasi di atas, kita dapat melihat bahwa garis kuning adalah dua garis yang menyinggung lingkaran. Sementara itu, garis yang berwarna biru ialah garis yang tegak lurus dengan dua garis singgung tersebut.

3. Garis Singgung Lingkaran pada Titik di Luar Lingkaran

Berbeda dengan dua kondisi sebelumnya, kali ini kita akan membentuk persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang berada di luar lingkaran. Kondisi seperti ini dapat diselesaikan dengan beberapa cara seperti: diskriminan persamaan kuadrat sekutu, gradien garis singgung, dan dengan membentuk persamaan garis polar. Nah, berikut ini kita akan membahas contoh kondisi ini dengan menggunakan tiga cara tersebut.

Contoh soal Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2} + y^{2} = 8$ melalui titik $G (0, - 4)$ yang berada di luar lingkaran!

Pembahasan:

Cara 1: Diskriminan Persamaan Sekutu

Persaman garis melalui titik $(0, - 4)$

$\begin{array}{l} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y - (- 4) = m (x - 0) \\ y + 4 = m x \\ y = m x - 4 \end{array}Subtitusikan y = m x - 4 ke persamaan lingkaran,$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 8 \\ x^{2} + (m x - 4)^{2} = 8 \\ x^{2} + m^{2} x^{2} - 8 m x + 16 = 8 \\ x^{2} + m^{2} x^{2} - 8 m x + 8 = 0 \\ (1 + m^{2}) x^{2} - 8 m x - 8 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} Dari bentuk di atas, maka diperoleha = 1 + m^{2} b = - 8 m c = 8 \end{array}$ $\begin{array}{l} Garis singgung lingkaran pasti menyinggung satu titik di lingkaran, akibatnya nilai D = 0 \end{array}$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} D = 0 \\ b^{2} - 4 a c = 0 \\ (- 8 m)^{2} - 4 (1 + m^{2}) (8) = 0 \\ 64 m^{2} - 32 - 32 m^{2} = 0 \\ 32 m^{2} - 32 = 0 \\ m^{2} - 1 = 0 \\ (m + 1) (m - 1) = 0 \end{array} \end{array}$
Setelah kita peroleh $m = 1$ dan $m = - 1$ , maka dapat disubtitusikan ke persamaan garis singgung $y = m x - 4$

Adapun garis singgung yang diperoleh yaitu,

y = x - 4

atau

y = - x - 4

Cara 2: Gradien Garis Singgung

Persamaan garis singgung melalui titik

(0, - 4)

, yaitu

y = m x - 4

Subtitusikan y ke rumus persamaan garis singgung dengan gradien, dimana lingkaran tersebut berpusat di (0,0) dengan jari-jari \sqrt{8} .

\begin{array}{l} y = m x \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\ m x - 4 = m x \pm \sqrt{8} \sqrt{1 + m^{2}} \\ - 4 = \pm \sqrt{8} \sqrt{1 + m^{2}} \\ 16 = 8 (1 + m^{2}) \\ 16 = 8 + 8 m^{2} \\ 8 m^{2} - 8 = 0 \\ m^{2} - 1 = 0 \\ (m + 1) (m - 1) = 0 \end{array}

\begin{array}{l}  \end{array}

Setelah kita peroleh

m = 1

dan

m = - 1

, maka dapat disubtitusikan ke persamaan garis singgung

y = m x - 4

Adapun garis singgung yang diperoleh yaitu,

y = x - 4

atau

y = - x - 4

Untuk metode garis kutub, teman-teman dapat cek penjelasannya pada video di bawah,

#WLberopini

Matematika Penting?

"Mengapa matematika membuat hal yang sederhana menjadi rumit?", tanyaku tujuh belas tahun yang lalu. Dibandingkan belajar berhitung, aku bahkan lebih tertarik mengeja dan belajar membaca.

Dahulu aku menutup mata dan telinga akan fakta bahwa matematika sebenarnya sangat dekat dengan kehidupan kita sehari-hari. Sederhananya, aku lupa bahwa aku menggunakan matematika ketika sedang membeli es lilin, menerima uang kembalian, atau bahkan ketika memperkirakan lama waktu menabung untuk membeli sepeda kesukaanku.

Fakta bahwa aku mengganggap matematika hanya sebagai salah satu mata pelajaran di sekolah membuatku sedikit malu. Apakah aku mengerti secepat itu?, tentu tidak. Aku perlu melalui berbagai masalah terlebih dahulu, agar aku tahu seberapa penting matematika.

Masih teringat jelas dipikiranku ketika seorang guru tidak mengakuiku sebagai juara kelas karena nilai matematika-ku yang rendah. Kala itu aku duduk di bangku SMP, masa dimana aku sangat gila validasi. Setiap kalimat yang dilontarkan guruku membuatku terpacu untuk belajar lebih dalam tentang matematika.

Awalnya, belajar matematika hanya kujadikan ajang pembuktian. Bukti bahwa aku pantas jadi juara kelas layaknya remaja labil pada umumnya. Saat itu, aku memulainya dengan suatu masalah fungsi kuadrat. Awalnya aku merasa kesulitan mengerjakan soal tersebut, namun merasa lega ketika menemukan solusi. Rasa lega yang kurasakan terasa asing, namun serupa dengan rasa lega setelah menyelesaikan rangkaian puzzle.

Rasa lega karena memecahkan soal matematika mungkin belum cukup baik untuk dijadikan alasan mengapa matematika itu penting. Hal ini karena soal matematika kadang kurang terasa nyata bagi sebagian orang. Pertanyaan lain muncul;

"Apa kontribusi akar persamaan kuadrat dalam kehidupan kita?"

"Pedagang saja hanya menggunakan tambah, kali, kurang, dan bagi"

Faktanya, matematika itu bukan milik pedagang saja. Seluruh manusia di muka bumi ini tanpa sadar telah dirangkul matematika. Matematika bukan hanya angka dan operasinya saja, tetapi lebih dari itu. Secara tidak sadar, belajar matematika dapat membuat kita menjadi pribadi yang lebih sistematis, logis, kritis, dan dapat menyelesaikan masalah yang sulit dengan sederhana.

Secuil pengalaman antara aku dan matematika telah membawaku jauh lebih dalam kepadanya. Aku tanpa ragu memutuskan belajar matematika di perguruan tinggi. Aku merasa bahwa matematika yang kupelajari di sekolah hanya membuka pintu gerbang saja dan sekarang aku sedang menjelajah ke dalamnya.

Matematika yang ku kenal belasan tahun lalu ternyata lebih dari yang aku bayangkan. Dengan matematika, aku dapat menyelesaikan berbagai persoalan seperti: masalah penyebaran penyakit infeksi, masalah ekonomi, memprediksi cuaca, dan lainnya. Matematika bukan hanya sekedar ilmu, namun juga teman yang dibutuhkan ketika menghadapi perkembangan teknologi.

Selama ini, matematika tidak memperumit sesuatu tetapi justru menyederhanakan berbagai hal rumit yang ada. Matematika telah membawaku menjadi pribadi yang lebih waras dalam berpikir dan mengambil keputusan. Bagaimana denganmu?

Waktu Luang

Hi, there!!

Welcome to Waktu Luang,

As you know that we already posted our math videos on YouTube named "Waktu Luang". We made this blog to help you learn more about math and anything else. For the first one, we create #WLberopini section for you. You can also share your point of you in comment section, so let's take a look.