Persamaan Garis Singgung Lingkaran: Pengertian dan Contohnya

 

    Persamaan garis singgung lingkaran ialah persamaan garis yang menyinggung lingkaran pada suatu titik. Suatu garis dapat disebut sebagai garis singgung lingkaran jika garis tersebut memotong lingkaran atau kurva tepat di satu titik (titik persekutuan).
      
    Berdasarkan pengertian di atas, maka dapat diketahui bahwa garis singgung lingkaran ialah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Garis singgung lingkaran memiliki beberapa kondisi berbeda, yaitu: garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran, garis singgung dengan gradien, dan garis singgung pada titik di luar lingkaran. 
 
    Nah, agar teman-teman lebih mengenal dan memahami jenis-jenis garis singgung lingkaran. Yuk, kita kupas tuntas materi ini dengan contoh-contoh soal dan pembahasannya! 

        1. Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

    Pada bagian ini,kita akan menentukan suatu persamaan garis singgung yang melalui titik $Q(x_1,y_1)$ pada lingkaran yang berpusat di $P(a,b)\; menggunakan\; rumus\; berikut:$

                   

           Contoh soal

           Tentukan persamaan garis singgung di titik $(\mathrm{5,3})$ pada lingkaran $x^2+y^2-4x+2y-20=0$!

           Pembahasan:

           $\begin{array}{l}{x}_1=5\\ y_1=3\\ A=-4\\ B=2\end{array}$

          Kemudian dengan bentuk persamaan lingkaran tersebut, maka informasi yang telah diperoleh                  akan disubtitusikan pada rumus berikut:

       $\begin{array}{l}x{x}_1+y{y}_1+\frac{A}{2}(x+x_1)+\frac{B}{2}(y+y_1)+C=0\\ 5x+3y-\frac{4}{2}(x+5)+\frac{2}{2}(y+3)-20=0\\ 5x+3y-2(x+5)+(y+3)-20=0\\ 5x+3y-2x-10+y+3-20=0\\ 3x+4y-27=0\end{array}$

          Berdasarkan pembahasan di atas, maka persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut ialah               $3x+4y=24$  

$\mathrm{<span><span> \; </span><span> \; </span></span>}$

$\mathrm{<span><span><span> \; \; <span> \; </span></span><span> Lebih\; jelasnya,\; teman-teman\; dapat\; melihat\; ilustrasi\; di\; bawah\; ini,</span></span><br></span>}$

$\mathrm{<span><span><br></span></span>}$

    2. Garis Singgung Lingkaran dari Gradien

    Pada bagian ini, kita akan menentukan suatu persamaan garis singgung lingkaran dengan menggunakan kemiringan garis, baik dari kemiringan garis singgung atau kemiringan dari garis lain yang memiliki hubungan sejajar atau tegak lurus dengan garis singgung tersebut. Adapun rumus mencari persamaan garis singgung lingkaran dalam kasus ini ialah sebagai berikut: 

        Contoh soal

        Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ yang tegak lurus                    dengan $2y+x=2$

        Pembahasan:

        

        Dengan menggunakan konsep persamaan garis lurus, maka kita akan menentukan gradien dari                garis singgung dengan melihat hubungannya dengan garis yang lain. 

       

         Berikut ini akan ditentukan gradien garis singgung yang tegak lurus dengan garis $2y+x=2$

$\mathrm{<span> \; </span><span> \; \; </span>}$$2y+x=2\to m_a=\frac{-1 }{}$  

         Sehingga,

          $\begin{array}{l}m\text{ . }{m}_a=-1\\ m\text{ . }\frac{-1}{2}=-1\\ m=2\end{array}$

        Dari pembahasan di atas maka persamaan garis singgung lingkaran ialah $y=2x-7+5\sqrt{5}$ atau

    $y=2x-7-5\sqrt{5}$

        Perhatikan gambar di bawah ini,

        Pada ilustrasi di atas, kita dapat melihat bahwa garis kuning adalah dua garis yang menyinggung            lingkaran. Sementara itu, garis yang berwarna biru ialah garis yang tegak lurus dengan dua garis            singgung tersebut.

        3. Garis Singgung Lingkaran pada Titik di Luar Lingkaran

    Berbeda dengan dua kondisi sebelumnya, kali ini kita akan membentuk persamaan garis singgung lingkaran pada titik yang berada di luar lingkaran. Kondisi seperti ini dapat diselesaikan dengan beberapa cara seperti: diskriminan persamaan kuadrat sekutu, gradien garis singgung, dan dengan membentuk persamaan garis polar. Nah, berikut ini kita akan membahas contoh kondisi ini dengan menggunakan tiga cara tersebut.

           Contoh soal                                                                                                                                                 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2=8$ melalui titik $G(0,-4)$ yang berada               di luar lingkaran!

           Pembahasan:

            Cara 1: Diskriminan Persamaan Sekutu

            Persaman garis melalui titik $(0,-4)$

      Setelah kita peroleh $m=1$ dan $m=-1$, maka dapat disubtitusikan ke persamaan garis                        singgung $y=mx-\mathrm{4 }$

        Adapun garis singgung yang diperoleh yaitu,

        $y=x-4$ atau $y=-x-4$

    

      Cara 2: Gradien Garis Singgung

        Persamaan garis singgung melalui titik $(0,-4)$, yaitu  $y=mx-4$

$\mathrm{<span> \; </span>}$

$\mathrm{<span><br></span>}$

        Setelah kita peroleh $m=1$ dan $m=-1$, maka dapat disubtitusikan ke persamaan garis                     singgung  $y=mx-4$

            Adapun garis singgung yang diperoleh yaitu,

            $y=x-4$ atau $y=-x-4$

$\mathrm{<br>}$

$\mathrm{<span> \; </span>\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}Untuk\; metode\; garis\; kutub,\; teman-teman\; dapat\; cek\; penjelasannya\; pada\; video\; di\; bawah,}$

$\mathrm{<br>}$

$$

$\mathrm{<span><br></span>}$